Rok po založení města Havířova byla k 1. srpnu 1956 založena zdejší škola, která na základě Zákona o základní úpravě jednotného školství ze dne 10. května 1948 měla status základní hudební školy. Dekret o ustavení školy vydal Městský národní výbor v Ostravě. Výuka byla zahájena 1. září 1956. Počátky školy byly velmi skromné a náročné. Je nutno si uvědomit, že škola vznikla ve městě, které nemělo svou historii ani kulturní tradice. Pro kulturní, hudební a estetickou výchovu mládeže nového města bylo založení školy nutností.

Pro hudební výuku uvolnila havířovská osmiletá škola jednu místnost a jednu místnost národní škola v Havířově III. Během školního roku přidělil národní výbor čtyři místnosti v dnešním komplexu, ve kterém část zaujímá Radnice města Havířova.

Zpočátku se začalo vyučovat hře na klavír a housle. Škola měla dva řádné a dva externí učitele a 78 žáků. V roce 1957 byla zahájena výuka přípravné hudební výchovy.

Se zvyšujícím se počtem obyvatel města rostl počet žáků i stav učitelského sboru. Dosavadní počet přidělených místností již této situaci nevyhovoval. Proto Městský národní výbor v roce 1959 přidělil škole dvě budovy na ul. Na Schodech.

Vydáním zákona č. 186 Sb. v roce 1960 v soustavě výchovy a vzdělávání došlo ke změně základní hudební školy na lidovou školu umění.

V roce 1961 byl hudební obor rozšířen o dechové nástroje, akordeon a sólový zpěv. Po roce 1961, v rámci tzv. nové soustavy uměleckého školství, byla výuka rozšiřována o obory nehudební, a to obor taneční (1962) a literárně dramatický (1963). Výtvarný obor započal svou výuku v roce 1962. Zájem o výtvarnou výchovu dětí rostl a tak v únoru 1975 byly škole přiděleny prostory na ul. U Stromovky.

Rokem 1964 nastal mimořádný příliv nových žáků a s tím také problémy s učebnami. Tento problém byl z části vyřešen přidělením budovy na ul. Sadové a později pak i v Havířově 2 – Podlesí. Značný přínos pro školu mělo přidělení budovy na ul. Sadová, ve které byly vhodné prostory ke zřízení vlastního koncertního sálu. Koncertní sál umožnil škole pořádat kulturní akce ve vlastních prostorách. Ze spousty koncertů pořádaných školou se zapsal tento sál do podvědomí široké veřejnosti i zahraničních hostů, např. z Anglie a Německa.

Přes všechny tyto úpravy nebyla škola schopna uspokojit zájem rodičů, dát umělecké vzdělání jejich dětem na zdejší škole, a proto využívala ke své činnosti propůjčené třídy na ZŠ M. Kudeříkové a ZŠ J. Švermy a v Horní Suché. Tento stav trval až do 1. dubna 1990, kdy škola byla rozdělena na dvě samostatné školy. První zůstala v prostorách budov Na Schodech a Sadová a druhá v dostavené škole na ul. Vrchlického, pro kterou byla v roce 1974 zpracována zastavovací a objemová studie.

V roce 1990 byly lidové školy umění zařazeny do základního školství s novým názvem základní umělecké školy. V době rozdělení pracovalo ve škole 45 učitelů a 1393 žáků. Po rozdělení měla ZUŠ ul. Na Schodech 22 učitelů a 540 žáků v oboru hudebním a tanečním. Avšak již k 1. 9. 1990 se počet žáků zvýšil na 745 a v jubilejním roce 1996 na 830 žáků a 37 učitelů.

ZUŠ ul. Na Schodech byl 26. října 1990, v roce 100. výročí narození Bohuslava Martinů, Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy propůjčen čestný název „Základní umělecká škola Bohuslava Martinů“ za dosahované pedagogické výsledky a bohatou kulturní činnost na veřejnosti.

Od 1. 1. 1995 zaznamenává škola výrazný krok – získání právní subjektivity. Za pomoci zřizovatele školy ŠÚ Karviná a sponzorů získala škola prostředky k estetizaci učeben, k rozsáhlému vybavení učebními pomůckami, k rekonstrukci a estetizaci koncertního sálu, k rekonstrukci nevyužitých prostor, které vedly k vytvoření keramické dílny a galerie. V roce 1996 dochází k opětovnému připojení výtvarného oboru k ZUŠ, jehož výuka probíhala v budově na ul. U Stromovky. V roce 2003 byl výtvarný obor přestěhován do nových prostor v Havířově-Podlesí. Zatím k poslednímu rozšíření nabídky oborů došlo v roce 2005, kdy škola otevřela nový literárně-dramatický obor a také nový předmět „Tvůrčí fotografie“.

Organizace výuky je řízena vyhláškou č. 70/2019 Sb. a Školním vzdělávacím programem, který se řídí Rámcovým vzdělávací programem vydaným Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy. Výuka probíhá formou individuální (nástrojová a pěvecká), skupinové (nástrojová, pěvecká, komorní hra) a kolektivní (soubory, orchestry, hudební nauka, pěvecké sbory). Pozornost je věnována také výuce talentovaných žáků, kteří mohou studovat formou přidělení horní hodinové dotace, o které rozhoduje ředitelka školy.

Úroveň umělecké pedagogiky nyní zajišťuje odborně aprobovaný pedagogický sbor pod vedením ředitelky MgA. Terezie Krainové. Statutární zástupkyní ředitelky je MgA. Stanislava Riemer a druhou zástupkyní je Jarmila Paclová, MA, MA. Ekonomické a provozní záležitosti zajišťují Ing. Marta Palowská a Kateřina Krakowczyková. Vynikajícím způsobem žáci reprezentují školu i město na celonárodních i mezinárodních soutěžích a získávají cenná umístění.

Základní umělecká škola Bohuslava Martinů vyvíjí bohatou školní i mimoškolní koncertní a výstavní činnost a mnohé koncerty se staly již tradicí, např. výchovné koncerty pro děti MŠ a ZŠ, koncerty učitelů, souborů, taneční akademie, absolventské koncerty, mikulášské koncerty, vánoční koncerty v kostele sv. Anny a Evangelickém kostele v Bludovicích, výstavy výtvarných prací pedagogů a žáků. Škola kromě četných úspěchů v soutěžích spolupracuje s institucemi města i regionu (hudební programy na vernisážích, koncertech komorní hudby a různých společenských akcích) a aktivně se zapojuje do spolupráce se zahraničními partnery, a to v rámci programů SOCRATES (spolupráce a výměnné stáže s uměleckými školami ve Švédsku, Finsku a na Sardinii), MLÁDEŽ a Česko-německého fondu budoucnosti. Škola reprezentuje město Havířov v jeho partnerských městech, a to v anglickém Harlow, slovenských Turčianských Teplicích, chorvatském Omiši a litevském Mažeikai a ve slovinském Zagorje ob Savi. V roce 2019 pěvecký sbor Meandry navštívil německé město Kirchheimbolanden.